双曲線関数の話題

久しぶりの記録です。果たして、どれだけの人が読んでいるのか、などという愚痴はさておき、今回は、はるまき様のblogに影響され、双曲線関数の話題をお送りします。

双曲線関数は、大抵の関数電卓に用意されておりますが、果たして、どれくらいの方が利用しているのでしょうか。当方は、余り利用した事がないので、こんな呑気な事を書いてるのですが、どうも、必要な人にとっては、やはり必要なものであるから、関数電卓のなかでも、重要な位置を占めていると思われます。

HPのサイトには、電卓のチュートリアルがPDFの形で用意されています。その中に、双曲線関数に関するものがあるので、それを見てみましょう。

この中に例題があります。一応、意訳を出しますが、誤訳の可能性もあるので、その事にお気づきの方はお知らせ戴きたく思います。では、行ってみましょうか。

問 1) 山の頂を結ぶケーブルを伝う trum (ケーブルカーの様なものでしょうか) があり、速度は v = 135 m/min、頂の間(径間)は 400 m と言います。
頂におけるケーブルの傾き角が 63 deg の場合、この trum は、頂の間をどのくらいの速度で移動するのでしょうか。

答 1)

まず、ケーブルを伝う trum という事で、この trum が移動するのは「懸垂線」と呼ばれる曲線である、と理想化します。懸垂線は、次の式で表現される式です。

              x
  y = a cosh ---
              a

但し、

S ; 径間 (吊り下げ点の間隔)
D ; たるみ (吊り下げ点と極点の高度差)
L ; 径間の曲線長
a ; カテナリ数
t ; 吊り下げ点での曲線の傾き

この式をいじくり回すと、次の式を得ます。

           S tan t
  L  = ---------------- 
        arc-sinh tan t

この例の場合、S = 437、t= 63°なので、次のような計算になります。

         437 tan 63
     = --------------- 
        asinh tan 63

     = 601.1129 (m)

よって、掛かる時間は

  L / v = 601.1129 / 135 = 4.45269 (min.)

問 2)

径間 S = 40 ft、カテナリ数 a = 18.63 ft の懸垂線で、曲線長はどれほどでしょうか。

これを解くには、次の式を使います。

               S
  L = 2a sinh ----
               2a

                           40
    = 2 * 18.63 * sinh -----------
                        2 * 18.63

    =  48.13830 (ft)

ex. 3) (これはオリジナル)

径間 S = 400 m、曲線長 L = 450 mのカテナリ数は ?

               S
  L = 2a sinh ----
               2a

から、数値解を計算します。HP35S (ようやく出て来ました !)での、Solvreを使った作業例。

1) まず、[EQN]キーを押して、上記の式を入力します。
2) 続いて [SOLVE] [A] と押して、Solverを動かします。
3) "L?" には 480 [R/S]、"S?"には 400 [R/S] と押します。
こうして、

  a = 187.8166

を得ました。


追記 on 2008/02/10
kaak様の指摘で、修正しました。