懸垂線を使った、対数の導出について

岩波新書の「数学入門(下)」(遠山 啓・著)に、懸垂線に関する面白い話題が出ています。
その昔、ライプニッツが、懸垂線を対数表の代わりに使ったらどうだろうか、と言ったのだそうです。実際にやってみると、どんな具合になるのか、ということで、やってみました。


ある数 Y の対数 X = ln Y を求めることを考えます。X と Y の関係は次の通りです。

  Y = exp X

つぎに懸垂線を考えます。つぎの式で表わされるのでした。

              x       exp (x/a) + exp (-x/a)
  y = a cosh --- = a ------------------------
              a                 2

ここで、 Y = exp X = exp x/a とおきます。すると、

         Y + 1/Y
  y = a ---------
           2

この式から、Y を「対数を求めたい数値」として、Y から y を計算、さらに得られた y から懸垂線のグラフを使い、x を求めます。

最後は、 X = x/a によって X を求めます。

実例 )

カテナリ数 a = 18.63 の懸垂線を使って、ln 30 を求めましょう。

まず、Y = 30 として、に対応する懸垂線上の値 y を計算します。

               30 + 1/30
  y = 18.63 * ----------- = 279.7605
                  2

グラフを使い、これに対応する x を調べます。ここでは、つぎの値を得ました。

  x = 63.33846

この作業が、精度に一番影響を与えます。実際に紐を垂らしたり、あるいはグラフ電卓なんかを使うと面白いかも知れません。

最後は、得られた値から対数 X を計算して終了です。

  X = 63.33846 / 18.63 = 3.39981

実際の値は ln 30 = 3.40120 ... なので、まあまあの値といえそうです。